المتجهات vectors... نعمل المستحيل كي نرقى الى مستقبل افضل

المتجهات Vectors

الكميات القياسية والكميات المتجهة Vector and Scalar

جميع الكميات الفيزيائية (أساسية أو مشتقة) يمكن تقسيمها إلى نوعين، النوع الأول هو الكميات القياسية scalar والنوع الثاني الكمية المتجهة vector . الكمية القياسية يمكن تحديدها بالمقدار magnitude فقط، مثل أن تقول أن كتلة جسم 5kg أو مساحة قطعة مستطيلة 30m2 بهذا نكون قد حددنا الكمية الفيزيائية. أما الكمية المتجهة تحتاج إلى أن تحدد اتجاهها direction بالإضافة إلى مقدارها، مثل سرعة الرياح 10km/h واتجاهها غرباً لاحظ هنا أنه احتجنا لتحديد المقدار أولاً ثم الاتجاه ثانياً.

في الجدول التالي قائمة ببعض الكميات القياسية والكميات المتجهة.



Scalar Quantity
Vector Quantity

Length
Displacement

Mass
Force

Speed
Acceleration




يجب أن يكون معلوما لدينا أن التعامل مع الكميات القياسية يختلف عنه في الكميات المتجهة فمثلاً لإيجاد المحصلة للكميات القياسية يتم التعامل جبرياً فمثلاً شخص يمتلك 15 قطعة نقدية واكتسب 5 قطع اخرى ثم خسر 3 قطع منها فتكون محصلة ما معه 17 قطعة، أما في الكميات المتجهة يكون التعامل اتجاهياً فمثلا إذا كان هناك جسم اثرت عليه ثلاثة قوى فالمحصلة تعتمد على اتجاه كل قوة وقد نحتاج إلى عمل تحليل للمتجهات لإيجاد المركبات الرئيسية والمركبات الأفقية ثم نحسب المحصلة ونحدد اتجاهها، لذا فإن التعامل مع الكميات المتجهة في الأغلب يكون أصعب قليلاً منها في التعامل مع الكميات القياسية.

لذلك سوف نقوم بشرح مبسط لعلم المتجهات وتوضيح مفاهيمه واساسياته.



نظام الإحداثيات Coordinate system

نحتاج في حياتنا العملية إلى تحديد موقع جسم ما في الفراغ سواءً كان ساكناً أم متحركاً، ولتحديد موقع هذا الجسم فإننا نستعين بما يعرف بالإحداثيات Coordinates، وهناك نوعان من الإحداثيات التي سوف نستخدمها وهما Rectangular coordinates و polar coordinates.



الاحداثيات الكارتيزية The rectangular coordinates

الإحداثيات الكارتيزية في بعدين موضحة في الشكل التالي. وتتكون الاحداثيات هذه من محورين x و y متعامدين ومتقاطعين عند النقطة (0,0) والتي تسمى نقطة الأصل origin point يتم وضع اسم كل محور ليدل على الكمية الفيزيائية التي يحددها والوحدة المستخدمة للقياس. تحدد اية نقطة على هذه الاحداثيات بـ (x,y).



الإحداثيات القطبية The polar coordinates

في بعض الأحيان يكون من الأنسب استخدام نظام محاور آخر مثل نظام المحاور القطبية والذي يحدد بالمسافة r والزاوية θ التي يصنعها مع المحور الأفقي. وتتحدد أي نقطة على هذه الإحداثيات بـ (r,θ)





العلاقة بين الاحداثيات الكارتيزية والقطبية The relation between coordinates

العلاقة بين الاحداثيات الكارتيزية (x,y) والاحداثيات القطبية (r,θ) موضحة في الشكل التالي:



x = r cos θ (1.1)

And

y = r sin θ (1.2)



بتربيع المعادليتن (1.1) و (1.2) وجمعهما نحصل على

(1.3)

والمعادلة (1.3) تعبر عن المحصلة (المقدار) لمركبتين في اتجاها محور x وفي اتجاه محور y.

بتقسيم المعادلتين (1.1) و (1.2) نحصل على

tan θ= x/y (1.4)

والمعادلة (1.4) تعطي الزاوية (الاتجاه) الني تصنعها المحصلة مع محور x.


--------------------------------------------------------------------------------
Example

The polar coordinates of a point are r = 5.5m and q =240o. What are the Cartesian coordinates of this point?

Solution

x = r cos q = 5.5×cos 240o = -2.75 m

y = r sin q = 5.5×sin 240o = -4.76 m


--------------------------------------------------------------------------------



خواص المتجهات Properties of Vectors

جمع المتجهات Vector addition

يمكن جمع المتجهات التي تعبر عن كميات فيزيائية متشابهة مثل جمع متجهيين للقوة، ولكن لا يمكن ان نجمع متجه قوة مع متجة سرعة.

لجمع متجه A مع متجه B تكون المحصلة المتجه R



R= A + B (1.5)



لاحظ ان جمع المتجهات لها خاصية التبديل فمثلا



A + B = B + A (1.6)




--------------------------------------------------------------------------------

مركبات المتجه Component of vector

أي متجه A يقع في الاحداثيات الكارتيزية x,y يمكن تحليله إلى مركبتين المركبة الأولي في اتجاه محور x وتسمى المركبة الأفقيةوالمركبة الثانية في اتجاه المحور y وتسمى المركبة الرأسية.

في الشكل ادناه المتجه A تم تحليله إلى مركبتين وقيمة كل مركبة هي على النحو التالي:

Ax=A cosq

Ay=A sinq

تحسب المحصلة من القانون التالي




عند التعامل مع عدة متجهات A, B, C, D , ........ فإننا نحتاج إلى تحليل كل متجه منهم على حدى إلى مركباته بالنسبة إلى المحاور (x,y) مما سيسهل علينا إيجاد المحصلة حيث سنقوم بعد اجراء التحليل بتجميع المركبات في اتجاه المحور x ومن ثم تجميع المركبات في اتجاه المحور y ثم تطبق قانون المحصلة الذي ينص على ان المحصلة تساوي الجذر التربيعي لمجموع مربع مركبات x ومربع مركبات y، أو كما في المعادلة التالية



وتحسب اتجاه المحصلة من خلال المعادلة التالية:




--------------------------------------------------------------------------------

متجه الوحدة The unit vector

يعرف متجه الوحدة بمتجه طوله الوحدة ويستخدم للتعبير عن الاتجاه لإي كمية فيزيائية متجهة.



المتجه A يمكن تمثيله بمقدار المتجه A ضرب متجه الوحدةa كالتالي



A = a A (1.10)



كذلك يمكن تمثيل متجهات وحدة (i, j, k) لمحاور الاحداثيات الكارتيزية rectangular coordinate system x, y, z كما في الشكل التالي:-



لاحظ ان الشكل السابق يعبر عن الاحداثيات الكارتيزية في ثلاثة ابعاد

وعليه يمكن كتابة أي متجه بدلالة مركباته ومتجهات الوحدة، فعلى سبيل المثال لنفترض متجه A يقع في مستوى x,y يمكن التعبير عنه بالصورة الإتجاهية



ملاحظة: يمكن استخدام طريقة تحليل المتجهات في جمع متجهين A و B كما في الشكل التالي:






Example

Find the sum of two vectors A and B given by

and



Solution

Note that Ax=3, Ay=4, Bx=2, and By=-5



The magnitude of vector R is



The direction of R with respect to x-axis is.




--------------------------------------------------------------------------------




--------------------------------------------------------------------------------

ضرب المتجهات Product of a vector

يوجد نوعين من الضرب للمتجهات النوع الأول يسمى الضرب القياسي لان حاصل ضرب متجهين يعطي كمية قياسية مثل حاصل ضرب متجه القوة في متجهة الإزاحة يكون الناتج الشغل وهو كمية قياسية، والنوع الثاني هو الضرب الاتجاهي وذلك لان حاصل ضرب متجهين ينتج عنه متجه ثالث يكون اتجاهه عمودي على المستوى الذي يحوي المتجهين الآخرين مثل متجه سرعة جسم مشحون في متجه المجال المغناطيسي ينتج عنه متجه قوة مغناطيسية.

ينتج من الضرب القياسي كمية قياسية وينتج من الضرب الإتجاهي كمية متجهة



الضرب القياسي The scalar product

يعرف الضرب القياسي scalar product بالضرب النقطي dot product وتكون نتيجة الضرب القياسي لمتجهين كمية قياسية، وتكون هذه القيمة موجبة إذا كانت الزاوية المحصورة بين المتجهين بين 0 و 90 درجة وتكون النتيجة سالبة إذا كانت الزاوية المحصورة بين المتجهين بين 90 و 180 درجة وتساوي صفراً إذا كانت الزاوية 90.



يعرف الضرب القياسي لمتجهين بحاصل ضرب مقدار المتجه الأول في مقدار المتجه الثاني في جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما.

(1.16)

يمكن إيجاد قيمة الضرب القياسي لمتجهين باستخدام مركبات كل متجه كما يلي:



The scalar product is




--------------------------------------------------------------------------------




--------------------------------------------------------------------------------

الضرب الاتجاهي The vector product

يعرف الضرب الاتجاهي vector product بـ cross product وتكون نتيجة الضرب الاتجاهي لمتجهين كمية متجهة. كما في الشكل التالي:





لايجاد قيمة حاصل الضرب نستعين بالحقيقة المتمثلة في أن الزاوية بين المتجهات i, j , k هي 90o




--------------------------------------------------------------------------------




--------------------------------------------------------------------------------


ويمكنكم مراجعة هذا الموقع
http://www.zeidanphy.com/vb/showthread.php?t=17876